Question

【题目】如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．
（1）求AN的长；
（2）求锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，

以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，

建立空间直角坐标系，

则由题意知：A（0，3，0），B（0，﹣3，0），

P（4，0，0），C（0，﹣3，4），

M（2，﹣ ，2），N（0，t，0）．

= ， =（0，6，0）．

∵ ⊥ ，∴ = =0，解得t=﹣ ，

∴AN=3﹣ = ．

（2）解：N ，∴ = ， =（2，0，2），

设平面MNC的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，即 ，则取 =（﹣3，8，3），

平面ANC的一个法向量为 =（1，0，0），

cos = = =﹣ ．

∴锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值为 ．

【解析】（1）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，设N（0，t，0）．由 ⊥ ，可得 =0，解得t，即可得出AN．（2）设平面MNC的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，可得 ，平面ANC的一个法向量为 =（1，0，0），利用cos = 即可得出．
【考点精析】本题主要考查了棱锥的结构特征的相关知识点，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方才能正确解答此题．