Question

已知A（，0），点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若，M（4，0）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在定直线x=a，以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意设出B，Q的坐标，利用直角三角形中的射影定理得到B，Q坐标的关系，然后结合题目给出的向量等式列式，消掉参数后即可求得点P的轨迹方程；
（2）因为P在（1）中的抛物线上，设出P的坐标，求出PM的中点坐标，利用弦心距公式列式求出以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长，有现场为定值可求得定值a的值．
解答：解：（1）设B（0，t），设Q（m，0），t²=|m|，∵m≤0，∴m=-4t²，
∴Q（-4t²，0），设P（x，y），则=（x-，y），=（-4t²-，0），

2=（-，2t），∵．
∴（x-，y）+（-4t²-，0）=（-，2t），
∴x=4t²，y=2t，∴y²=x，此即点P的轨迹方程；
（2）存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值．
事实上，由（1）知点P的轨迹方程是y²=x．
设P（y²，y），∵M （4，0），
则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T（），
以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长：
L=2
=2=2
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0，即a=时，L=．
∴存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值．
点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程的求法，考查了直线与圆的关系，训练了利用弦心距求弦长，是有一定难度题目．