Question

已知tan(

π

4

-α)=

1

3

，α∈(0，

π

4

)．
（1）求f(α)=

sin2α-2cos2α

1+tanα

的值；
（2）若β∈(0，

π

2

)，且sin(

3π

4

+β)=

5

5

，求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的角的正切值和角的范围，写出角α的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角的三角函数关系，整理出只含有角的正切值的形式，得到结果．
（2）本题需要进行角的变换，把要求的角写成β=(β+

3π

4

)-

3π

4

，根据所给的角的范围和同角的三角函数的关系，得到结果．

解答：解：（1）∵tan(

π

4

-α)=

1

3

，α∈(0，

π

4

)，
∴tanα=

1

2

．
∴f(α)=

sin2α-2cos2α

1+tanα

=

2sinα•cosα-2cos2α

(1+tanα)(cos2α+sin2α)

=

2tanα-2

(1+tanα)(1+tan2α)

=-

8

15

．…7
（2）∵β∈(0，

π

2

)，且sin(

3π

4

+β)=

5

5

∴

3π

4

＜

3π

4

+β＜

5π

4

∴cos(

3π

4

+β)=

-2

5

，
∴sinβ=sin[(β+

3π

4

)-

3π

4

]=sin(β+

3π

4

)cos

3π

4

-cos(β+

3π

4

)sin

3π

4

=

1

10

，
∴cosβ=

3

10

．∴tanβ=

1

3

．
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=1，
又∵α+β∈(0，

π

2

)，
∴α+β=

π

4

．   …14

点评：本题考查三角函数的化简求值，本题解题的关键是对于条件中所给的角的范围进行分析，这样才可以根据同角的三角函数的关系求出要用的结果．