Question

已知函数f(x)=x-2

2x

+2(x≥2)
（1）求反函数f^-1（x）；
（2）若数列{a_n}（a_n＞0）的前n项和S_n满足：a₁=2，S_n=f^-1（S_n-1）（n≥2）
①求数列{a_n}的通项公式．
②令bn=a2n+n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=x-2

2x

+2(x≥2)，得2

2

x=x-y+2，x≥2，两边平方，并整理，得x²-（2y+4）x+y²-4y+4=0，x≥2．所以x=y+2+2

y

=(

2

+

x

)2，x，y互换，得反函数f^-1（x）．
（2）①由

Sn

=

Sn-1

+

2

，知S_n=2n²，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
②由b_n=4（2ⁿ+n）-2，由求出数列{b_n}前n项和T_n．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x-2

2x

+2(x≥2)
∴2

2

x=x-y+2，x≥2，
两边平方，得8x²=x²+y²+4-2xy-4y+4x，
整理，得x²-（2y+4）x+y²-4y+4=0，x≥2．
∴x=

2y+4+ 4y2+16y+16-4y2+16y-16

2

=y+2+2

2y

=(

2

+

y

)2，
x，y互换，得f-1(x)=(

x

+

2

)2(x≥0)．
（2）①∵a₁=2，S_n=f^-1（S_n-1）（n≥2）
f-1(x)=(

x

+

2

)2(x≥0)．
∴Sn=(

Sn-1

+

2

)2
∴

Sn

=

Sn-1

+

2

，
∵

S 1

=

a1

=

2

，
∴

Sn

=

2

+(n-1)

2

=

2

n，
∴S_n=2n²，
∵a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
②∵bn=a2n+n，
且a_n=4n-2．
∴b_n=4（2ⁿ+n）-2，
∴T_n=4（1+2+3+…+n）+4（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2n
∴Tn=4•

2(1-2n)

1-2

+4•

n(n+1)

2

-2n=2n+3+2n2-8．

点评：本题考查反函数的求法、数列通项公式的求法和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．