Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；
（2）当a=0时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+2在[t，t+1]上有解；
（3）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将不等式等价变形，利用一元二次不等式的求解方法，即可得到结论；
（2）先确定x=0不是方程的解，再构造函数，确定函数的单调性，利用零点存在定理，可求整数t的所有值；
（3）求导函数，分类讨论，利用函数的单调性建立不等关系，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）≤0即为ax²+x≤0，
又因为a＞0，所以不等式可化为x(x+

1

a

)≤0，所以不等式f（x）≤0的解集为[-

1

a

，0]．
（2）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于e^x-

2

x

-1=0，
令h（x）=e^x-

2

x

-1，因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x≠0恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，所以整数t的所有值为{-3，1}．
（3）f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
不妨设x₁＞x₂，因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，
因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，所以必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

，即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a≤0．
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]．

点评：本题考查不等式的解法，考查函数的零点，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．