Question

已知P(1，4

3

)为角α的终边上一点，且sinα•sin(

π

2

-β)+cosα•sin(π+β)=

3 3

14

，0＜β＜α＜

π

2

，则角β等于（　　）

• A．

  π

  12

• B．

  π

  6

• C．

  π

  4

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：由已知，得出 sin（α-β）=

3 3

14

，将β角化为β=α-（α-β），根据和差角公式，求出β的某种三角函数值，再求出β．

解答：解：∵|OP|=7，∴sinα=

4 3

7

，cosα=

1

7

．
由已知，sinα•sin(

π

2

-β)+cosα•sin(π+β)=

3 3

14

，
根据诱导公式即为sinαcosβ-cosαsinβ=

3 3

14

，
即sin（α-β）=

3 3

14

，
∵0＜β＜α＜

π

2

∴0＜α-β＜

π

2

，∴cos（α-β）=

1-sin2(α-β)

=

13

14

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

4 3

7

×

13

14

-

1

7

×

3 3

14

=

3

2

，
因为β为锐角，
所以角β=

π

3

故选D．

点评：本题考查三角函数诱导公式、和差角公式的应用：三角式求值、求角．运用和差角公式时，角的转化非常关键，注意要将未知角用已知角来表示．常见的角的代换形式：β=α-（α-β），2α=（α-β）+（α+β）等．