Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，点(

an

，an+1)，(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=(

1

2

)n-1，n∈N*，令Cn=

-1

an+1log2bn+1

，求{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据点(

an

，an+1)，(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上，得到数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先表示出{C_n}的通项，再利用裂项法求和，即可得到{C_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵点(

an

，an+1)，(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上．
∴a_n+1=a_n+1
∴a_n+1-a_n=1
∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=n；
（2）∵a_n=n，bn=(

1

2

)n-1，n∈N*，
∴Cn=

-1

an+1log2bn+1

=

-1

(n+1)log2( 1 2 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴{C_n}的前n项和T_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题以函数为载体，考查等差数列的通项，考查裂项法求数列的和，解题的关键是掌握等差数列的定义，正确运用数列的求和方法．