Question

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系
（1）画出x与y的散点图；
（2）试求x与y线性回归方程；
（3）估计使用年限为6年时，维修费用是多少？此时相应的残差是多少？
（参考公式：b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

，

.

y

=b

.

x

+a）

Answer 1

分析：（1）根据表格中所给的五组数据，得到五组实数对，在坐标系中画出对应的点，得到散点图．
（2）先做出横标和纵标的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出对应的y的值，做出相应的残差．

解答：解：（1）根据所给的五组数据画出散点图

（2）由题设条件得：

.

x

=4

.

y

=5

5

i=1

x

2 i

=90

5

i=1

x

i

yi=112.3
∴b=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=1.23
∴a=

.

y

-b

.

x

=5-1.23×4=0.08
 线性回归方程为：

?

y

=bx+a=1.23x+0.08
（3）由（2）得：x=6时，

?

y

=1.23×6+0.08=7.46（万元）
此时相应于点（6，7.0）的残差为：

?

e

=y-

?

y

=7.0-7.46=-0.46
答：估计使用年6年时维修费用是7.46万元，此时相应的残差是-0.46

点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是求出线性回归方程的系数，这是后面求a和预报y值的前提．