Question

已知函数f(x)=ax-x²的最大值不大于，又当x∈［,］时，f(x)≥.

（1）求a的值；

（2）设0＜a₁＜,a_n+1=f(a_n),n∈N^*,证明:a_n＜.

Answer 1

思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式a_n+1=f(a_n)=a²_n+a_n的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.

(1)解：由于f(x)=axx²的最大值不大于,所以

f()=≤,即a²≤1.

又x∈［,］时f(x)≥,

所以解得a≥1.

∴a=1.

(2)证明：（Ⅰ）当n=1时，0＜a₁＜，不等式0＜a_n＜成立；

因f(x)＞0,x∈(0,),所以0＜a₂=f(a₁)≤＜,

故n=2时不等式也成立.

（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，不等式0＜a_k＜成立，

因为f(x)=x-x²的对称轴为x=,知f(x)在［0,］为增函数，所以由0＜a_k＜≤得0＜f(a_k)＜f(),于是有

0＜a_k+1＜-·.

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N^*，不等式a_n＜成立.

方法归纳

    将起点的位置推移至2的目的，就是要将a_k和置于函数f(x)的单调区间［0,］内，从而由0＜a_k＜≤得0＜f(a_k)＜f().