题目内容
在平面直角坐标系xOy中，点An满足
=(0，1)，且
=(1，1)；点Bn满足
=(3，0)，且
=(3•(
)n，0)，其中n∈N*．
（1）求
的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；
（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
| OA1 |
| AnAn+1 |
| OB1 |
| BnBn+1 |
| 2 |
| 3 |
（1）求
| OA2 |
（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；
（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．
（1）由已知条件得，
=(1，1)，
=
-
，∴
=(1，2)，
∵
=(1，1)，∴
-
=(1， 1)
设
=(xn，yn)，则xn+1-xn=1，yn+1-yn=1
∴xn=0+（n-1）•1=n-1；yn=1+（n-1）•1=n．
即An=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点An在直线y=x+1上．
（2）由（1）得An（n-1，n），
=
-
=(3•(
) n，0)，
设Bn（un，vn），则u1=3，v1=0，vn+1-vn=0，∴vn=0，
un+1-un=3•(
)n，逐差累和得，un=9(1-(
)n)，
∴Bn(9(1-(
)n)，0)．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=
[10-9(
)n+1](n+1)-
[10-9(
)n]nan=5+(n-2)(
)n-1，n∈N*．
（3）由（2）an=5+(n-2)(
)n-1，n∈N*
an+1-an=[5+(n-1)(
)n]-[5+(n-2)(
)n-1]=
(
)n-1，
于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为a4=a5=5+
，则P＞5
，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有an＜p成立．
| A1A2 |
| A1A2 |
| OA2 |
| OA1 |
| OA2 |
∵
| AnAn+1 |
| OAn+1 |
| OAn |
设
| OAn |
∴xn=0+（n-1）•1=n-1；yn=1+（n-1）•1=n．
即An=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点An在直线y=x+1上．
（2）由（1）得An（n-1，n），
| BnBn+1 |
| OBn+1 |
| OBn |
| 2 |
| 3 |
设Bn（un，vn），则u1=3，v1=0，vn+1-vn=0，∴vn=0，
un+1-un=3•(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴Bn(9(1-(
| 2 |
| 3 |
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）由（2）an=5+(n-2)(
| 2 |
| 3 |
an+1-an=[5+(n-1)(
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4-n |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为a4=a5=5+
| 16 |
| 27 |
| 16 |
| 27 |
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有an＜p成立．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、2 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．