Question

7、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）-f（x）=0，且f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）的值为（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、2

Answer 1

分析：本题通过赋值法对f（2-x）-f（x）=0中的x进行赋值为4+x，即可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）即可求解

解答：解：∵f（2-x）-f（x）=0
令x～4+x
∴f（2-（4+x））-f（4+x）=0
即f（2-x）=f（4+x）
f（x）=f（4+x）
故函数f（x）的周期为4
∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）-f（x）=0，且f（-1）=1
∴f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=0，f（3）=1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（2009）+f（2010）
=502（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）
=-1
故选A

点评：本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．