Question

已知函数．
（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[3，5]时，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

（1）证明：设1＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）===
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（2）解：∵[3，5]⊆（1，+∞），∴f（x）在[3，5]上是减函数，
∴f（x）_max=f（3）=2，f（x）_min=f（5）=1.5．
分析：（1）利用单调性的证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（2）确定f（x）在[3，5]上是减函数，即可求f（x）的最小值和最大值．
点评：本题考查函数单调性的证明，考查函数的最值，掌握单调性的证题步骤是关键．