题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右焦点F2与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，求
PF1
•
PF2
的值．
分析：（1）抛物线的焦点坐标为(
3
，0)，故c=
3
，由短轴的两个端点与F2构成正三角形，知a=2b，由此能够导出椭圆的方程．
（2）设P点坐标为（x0，y0），由椭圆的对称性知，S四边形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×
1
2
×F1F2×|yP|，当四边形PF1QF2面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，由对称性能够导出
PF1
•
PF2
的值．
解答：解：（1）由题，抛物线的焦点坐标为(
3
，0)，故c=
3
…（2分）
又因为短轴的两个端点与F2构成正三角形，所以a=2b，又a2=b2+c2得a=2，b=1
所以椭圆的方程为
x2
4
+y2=1…（7分）
（2）设P点坐标为（x0，y0），由椭圆的对称性知，S四边形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×
1
2
×F1F2×|yP|
当四边形PF1QF2面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，
由对称性不妨设P（0，1）…（10分）
又F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)则
PF1
=(-
3
，-1)，
PF2
=(
3
，-1)
所以
PF1
•
PF2
=(-
3
，-1)•(
3
，-1)=-3+1=-2…（16分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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