Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线垂直于y轴，数列{a_n}满足an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2（n∈N^*）；
②若a₁=4，试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

与

2

5

的大小，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）f （1）=a-b=0，可得a=b，代入f′（x），要使函数f （x）在其定义域内为单调函数，则?x∈（0，+∞）内f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

≥0，内f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

≤0恒成立，结合函数的性质可求a的范围
（2）①由题意及导数的几何意义可得，f′（1）=0，从而可求f′（x），结合已知an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1，利用数学归纳法可证①
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①对k≥2都有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1，利用不等式的放缩可得a_k+1≥2（a_k-1+1）≥2²（a_k-2+1）≥2³（a_k-3+1）≥…≥2^k-1（a₁+1），结合等比数列的求和公式即可判断

解答：解：（1）∵f （1）=a-b=0，
∴a=b，
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函数f （x）在其定义域内为单调函数，则?x∈（0，+∞）内f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

≥0，
或f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

≤0恒成立
∵f′(x)=

ax2+a-2x

x2

由f′（x）≥0得a≥

2x

x2+1

而

2x

x2+1

≤

2x

2x

=1
∴a≥1由f′（x）≤0得a≤

2x

x2+1

而

2x

x2+1

＞0
∴a≤0经验证a=0及a=1均合题意，故a≤0或a≥1
∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0． （5分）
（2）∵函数f （x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1，
∴f′（x）=(

1

x

-1)2，
∴a_n+1=f′(

1

an+1

)-nan+1=

a

2 n

-nan+1．（7分）
①用数学归纳法证明：（i）当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（ii）假设当n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k （a_k-k）+1≥2 （k+2）+1=（k+3）+k+2＞k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1≥（k+1）+2．根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有a_n≥n+2．  （10分）
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①对k≥2都有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
∴a_k+1≥2（a_k-1+1）≥2²（a_k-2+1）≥2³（a_k-3+1）≥…≥2^k-1（a₁+1）
而

1

1+a1

=

1

5

于是当k≥2时，

1

1+ak

≤

1

5

•

1

2k-1

∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+ak

≤

1

5

(1+

1

2

+…+

1

2n-1

)=

1- 1 2n

1- 1 2

×

1

5

=

2

5

(1-

1

2n

)＜

2

5

（13分）

点评：本题主要考察了导数的函数的导数在函数的单调性中的应用，数学归纳法在数学命题的证明中的应用及放缩法的应用，具有一定的综合性