Question

（2013•临沂一模）已知函数f(x)=cos(x-

π

3

)-sin(

π

2

-x)．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若α∈(0，

π

2

)，且f(α+

π

6

)=

3

5

，求f（2α）的值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（x-

π

6

），由此求得它的最小正周期的值；
（II）先由f(α+

π

6

)=

3

5

可以求出sinα的值，进而得出cosα、cos2α、sin2α的值，然后即可求出f（2α）．

解答：解：（I）f(x)=cos(x-

π

3

)-sin(

π

2

-x)=

1

2

cosx+

3

2

sinx-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sin（x-

π

6

）
∴f（x）的最小正周期为2π
（II）由（I）知f（x）=sin（x-

π

6

）
所以f（α+

π

6

）=sin（α+

π

6

-

π

6

）=sinα=

3

5

∵α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

cos2α=2cos²α-1=2×（

4

5

）²-1=

7

25

∴f（2α）=sin（2α-

π

6

）=

3

2

sin2α-

1

2

cos2α=

3

2

×

24

25

-

1

2

×

7

25

=

24 3 -7

50

点评：此题考查了诱导公式、两角和与差公式，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于中档题．