Question

已知函数，g（x）=lnx+2x。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y= g（x）相切？请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵函数的定义域为（0，+∞），
∴f'（x）
（i）当a≤0时，f'（x）>0，
∴f（x）的增区间为（0，+∞），
（ii）当a>0时，令f'（x）>0，解得x>a，
∴f（x）的增区间为（a，+∞），
令f'（x）＜0，解得0＜x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，a）。
（2）g（x）=2x+lnx（x>0），
设过点（2，5）的直线与曲线g（x）相切的切点坐标为（x₀，y₀）
∴y₀-5=g'（x₀）（x₀-2），
即
∴
令
由（1）知当a=2时，h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
又，h（2）=ln2-1＜0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线。