Question

（本题满分16分）已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=k f（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]有表达式f（x）=x(x－2)。

⑴求f（-1）,f（2.5）的值（用k表示）；

⑵写出f（x）在[－3，2]上的表达式，并讨论f（x）在[－3，2]上的单调性（不要证明）；

⑶求出f（x）在[－3，2]上最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值。

Answer 1

⑴f（－1）= k f（1）= k（－1）=－k   …………………………………………2′

   f（2.5）= f（0.5）=××（－）=－ …………………………4′

   x∈[－2，0]时，x+2∈[0，2]

   ∴  f（x）= k f（x+2）= k（x+2）x  …………………………………………6′

    x∈[－3，－2）时   x+2∈[－1，0)

   ∴  f（x）= k f（x+2）= k²（x+4）（x+2）……………………………………8′

   ∴  f（x）=

   ⑵f（x）在[－3，－1]上单调增，在[1， 2] 单调增

      在[－1， 1]上单调减    ……………………………………………………12′

   ⑶x=－1，f（x）_max=－k     ……………………………………………………13′

     k=－1，f（x）_min=－1,此时x=1或x=－3   …………………………………14′

     k<－1时，f（x）_min=－k²，此时x=－3     …………………………………15′

    －1<k<0时，f（x）_min=－1，此时x=1       …………………………………16′