Question

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

，其中x∈（-1，1）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）设x，y为函数f（x）定义域内的任意二个值，求证：f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．

Answer 1

分析：（1）由于函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由题意求得 f（x）+f（y）=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，化简 f（

x+y

1+xy

） 可得它等于 lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，从而证得结论．

解答：解：（1）由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）证明：∵x，y为函数f（x）定义域内的任意二个值，f(x)=lg

1-x

1+x

，
∴f（x）+f（y）=lg

1-x

1+x

+lg

1-y

1+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1-y)

=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，
f（

x+y

1+xy

）=lg

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

，
故有 f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，对数函数的图象和性质应用，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．