Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

+2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若xlnx≤mx²-

1

2

在x∈[

1

e

，1]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）定义域{x|x＞0}．（1分）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）由xlnx≤mx2-

1

2

，得

lnx

x

+

1

2x2

≤m．
令已知函数g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

．（5分）g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

．
∵当a=-1时，f(x)=lnx+

1

x

+2，
∴g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

=

3-(lnx+ 1 x +2)

x2

．（7分）
当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．（8分）
f（x）≥f（1）=3，即lnx+

1

x

+2≥3，
∴g′(x)=

3-(lnx+ 1 x +2)

x2

≤0，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上，g'（x）≤0，g（x）单调递减，（9分）
在[

1

e

，1]上，g(x)≤g(

1

e

)=-e+

e2

2

，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，则m∈[-e+

e2

2

，+∞)．（10分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是确定函数的单调性，确定函数的最值．