Question

关于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为

a≤0或a=

5

27

．

Answer 1

分析：原条件?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有且仅有一个正实数解，令

1

x

=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．

解答：解：关于实数x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有仅有一个正实数解．
令

1

x

=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=

1

3

或t=-1．
又t∈（-1，

1

3

）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（

1

3

，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（

1

3

）=

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．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=

5

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．
故答案为：a≤0或a=

5

27

．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及三次函数的性质，同时考查了数形结合与函数方程的思想，属于中档题．