Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）求f（x）在[-4，4]上的最值；
（3）解关于x的不等式

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b）（b²≠2）．

Answer 1

分析：1）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，再比较f（x₁）和f（x₂）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（2）由（1）可得f（x）为[-4，4]上是减函数，则f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4），利用赋值法可求
（3）根据f（x）为R上的减函数也是奇函数，原不等式可转化为bx²-（2+b²）x+2b＜0，解二次不等式可求x的范围

解答：解：（1）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=0得f（0）=0．
再令x₁=x，x₂=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为R上的奇函数．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，当x＞0时f（x）＜0．
∴f（x₂-x₁）＜0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）为R上的减函数．
（2）∵f（x）为R上的减函数
∴f（x）为[-4，4]上是减函数
∴f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4）
最小值f（4）=f（1+3）=f（1）+f（3）=4f（1）=-8
最大值f（-4）=-f（4）=8
（3）∵

1

2

f（bx²）-f（x）＞

1

2

f（b²x）-f（b）
∴

1

2

f(bx2-b2x)＞f(x-b)
∵f（

x

2

+

x

2

）=2f（

x

2

）∴f(

x

2

)=

1

2

f(x)
∴f(

bx2-b2x

2

)＞f(x-b)
∴bx²-b²x＜2x-2b
∴bx²-（2+b²）x+2b＜0，
若b=0，则{x|x＞0}；若b≠0，则b（x-

2

b

）（x-b）＜0
当-

2

＜b＜0时，则{x|x＜

2

b

或x＞b}
当b＜-

2

时，则{x|x＜b或x＞

2

b

}
当0＜b＜

2

时，则{x|b＜x＜

2

b

}
当b＞

2

时，则{x|

2

b

＜x＜b}

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．