Question

已知函数f（x）的图象由函数•向左平移1个单位得到．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（3）若函数f（x）的最小值是m，且m＞，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数平移的性质进行求解；
（2）把a=1代入f（x），再根据均值不等式进行求解；
（3）对f（x）进行求导，利用导数研究函数的极值，对a进行讨论，研究函数的单调区间，从而进行求解；
解答：解：（1）∵已知函数f（x）的图象由函数•向左平移1个单位得到
依题意：f（x）=（-）•2^x+
（2）当a=1时，f（x）=•2^x+≥2•=3；
（3）∵f′（x）=（-）•2^x•ln2+
=，
∴由f′（x）＞0，得：（）•（2^x）²＞4a-1  ①
①当，即a＜0，时，（2^x）²＞，
当x＜log₂时，函数f（x）递增，
当x＞log₂时，函数f（x）递减，
∴函数f（x）只有最大值，矛盾；
②当，即0＜a≤时，①式的解集为R，此时函数f（x）单调递增，
不存在最小值；
③当，即a≥4时，①式的解集为∅．
此时函数f（x）单调递减，不存在最小值；
④当，即时，（2^x）²＞，
∴当x＞log₂时，函数f（x）递增，
当x＜log₂时，函数f（x）递减，
∴函数f（x）当=log₂时，有最小值2，
∴2＞，
∴＜a＜2，
综上所述，满足题意设条件的实数a的取值范围是（，2）．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，利用导数研究函数的单调性，难度比较大；