Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，

3

2

)到F1，F2两点的距离之和等于4．
（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（0，

3

2

）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，可求a，利用点A(1，

3

2

)在椭圆上，可求b，从而求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设直线MN方程为y=kx+

3

2

，代入椭圆C的方程，利用韦达定理即向量知识，建立方程，即可求得直线MN的方程．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A(1，

3

2

)在椭圆上，∴

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，∴b²=3，∴c²=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，F1(-1，0)，F2(1，0)．…（6分）
（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+

3

2

，
代入椭圆C的方程得（3+4k²）x²+12kx-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

12k

3+4k2

，x₁x₂=-

3

3+4k2

，且△＞0成立．
又

OM

•ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（ kx₁+

3

2

）（kx₂+

3

2

）=-

3(1+k2)

3+4k2

-

18k2

3+4k2

+

9

4

=0，
∴16k²=5，k=±

5

4

，
∴MN方程为y=±

5

4

x+

3

2

…（14分）

点评：本题考查解析几何的基本思想方法，要求学生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑的能力，数形结合能力．