Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（　　）

• A、

  3

  6

  a 3
• B、

  2

  3

  a3
• C、

  a3

  3

• D、

  a3

  6

Answer 1

分析：由已知中点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，我们易证明出三棱锥S-ABC的三条侧棱也相等，则三棱锥S-ABC的三条侧棱互相垂直时，体积取最大值，代入体积公式，即可求出答案．

解答：解：点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD为BC边上的高
∴SA⊥BC，SC⊥AB．
设O为S在底面的射影，
则BC⊥面SAD，则O一定在AD上，
AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，
所以O是底面ABC的垂心．也是外心，
∴SA=SB=SC=a．
则当SA，SB，SC互相垂直时体积最大
此时V=

1

3

×

1

2

•a•a•a=

a3

6

故选D

点评：本题考查的点是三棱锥的体积及三角形的垂心，其中根据已知条件，证明出三棱锥S-ABC的三条侧棱也相等，是解答本题的关键．