题目内容
已知F1（-2，0），F2（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2| =
|F1F2|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且
=
，求直线l的方程．
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且
| MA |
| 1 |
| 2 |
| MB |
（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =
|F1F2| =6＞|F1F2|=4，
故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为
+
=1．
（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，
则有
将（3）、（4）代入（2）得
+
=1，整理为
+
-
y1+
=0．
将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±
，
故所求的直线方程为y=±
x+3．
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由
得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，①x1x2=
．②
因为
=
，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．
将x2=2x1代入①、②，得x1=
，x12=
，
消去x1得(
)2=
，
解得k2=
，k=±
．
所以直线l的方程为y=±
x+3．
| 3 |
| 2 |
故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，
则有
|
将（3）、（4）代入（2）得
| 4x12 |
| 9 |
| (2y1-3)2 |
| 5 |
| 4x12 |
| 9 |
| 4y12 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±
| 3 | ||
|
故所求的直线方程为y=±
| ||
| 3 |
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由
|
| 4 |
| 9 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -54k |
| 5+9k2 |
| 36 |
| 5+9k2 |
因为
| MA |
| 1 |
| 2 |
| MB |
将x2=2x1代入①、②，得x1=
| -18k |
| 5+9k2 |
| 18 |
| 5+9k2 |
消去x1得(
| -18k |
| 5+9k2 |
| 18 |
| 5+9k2 |
解得k2=
| 5 |
| 9 |
| ||
| 3 |
所以直线l的方程为y=±
| ||
| 3 |
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