Question

13．数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+1，n≥2，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）若b_n=a_nlog₂（a_n+1），求S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）若c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{（{a}_{n}+2）（{a}_{n}+3）}$，求T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+1，n≥2，n∈N^*．可得a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+1=2ⁿ．可得b_n=（2ⁿ-1）$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ-n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出S_n．
（3c_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+1，n≥2，n∈N^*．∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）解：由（1）可得：a_n+1=2ⁿ．
∴b_n=a_nlog₂（a_n+1）=a_n$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为V_n，
则V_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2V_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-V_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴V_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-（1+2+…+n）=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．
（3）解：c_n=$\frac{{a}_{n}+1}{（{a}_{n}+2）（{a}_{n}+3）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n}+2）}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n-1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$（\frac{1}{1+1}-\frac{1}{2+1}）$+$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．