Question

已知数列{a_n}的前项和S_n，当n≥2时，点在f（x）=x+2的图象上，且S₁=
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2（1-n）a_n求f（n）=的最大值及相应的n的值；
（3）在（2）的条件下当n≥2时，设Tn=++…．证明：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由n≥2时，点在f（x）=x+2的图象上，易得数列{}是一个以2为公差的等差数列，求出S_n的通项公式后，由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=2（1-n）a_n，结合（1）中数列{a_n}的通项公式，可得数列{b_n}的通项，进而得到f（n）的表达式，进行利用基本不等式，求出f（n）的最大值及相应的n的值；
（3）由（2）中数列{b_n}的通项，利用放缩法和裂项相消法，可得 T_n＜1-＜1．
解答：解：（1）∵n≥2时，点在f（x）=x+2的图象上，
∴=2，（n≥2）
故数列{}是一个以2为公差的等差数列
又∵S₁=，=2
∴=2n，即S_n=
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=
又∵n=1时，无意义
故a_n=
（2）∵b_n=2（1-n）a_n，
∴当n=1时，b₁=0，
当n≥2时，b_n=2（1-n）•=
∴f（n）===≤
当且仅当n+1=2，即n=1时取等
（3）当n≥2时，
Tn=++…
=++…+
＜++…+
=1-+-+…+-
=1-＜1
即T_n＜1
点评：本题是数列与不等式的综合应用，熟练掌握数列的函数特征，掌握数列通项公式及数列求和的常用方法和技巧是解答的关键．