Question

 （本小题满分12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．

（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时？平面BEF⊥平面ACD. 

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：见解析；(2)当 λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．

【解析】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中在（2）中，构造适当的空间坐标系，然后结合向量法求二面角的方法，构造一个关于λ的方程，是解答本题的关键．

1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我们易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分别是AC、AD上的动点，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

（2）过点C作CZ∥AB，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．分别求出各顶点的坐标，并根据ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分别求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根据平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，代入向量夹角公式，构造一个关于λ的方程，解方程即可得到平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时λ的值．

(1)证明：∵ AB⊥平面BCD，∴ AB⊥CD．

∵ CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴ CD⊥平面ABC．

又＝＝λ(0＜λ＜1)，

∴ 不论λ为何值，恒有EF∥CD， ∴ EF⊥平面ABC．

∵ EF 平面BEF，  ∴不论λ为何值总有平面BEF⊥平面ABC． ----------------6分

(2)解：由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴ BE⊥平面ACD．

∴ BE⊥AC．∵ BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴ BD＝，AB＝，

AC＝．由△ABC∽△AEB，有AB²＝AE·AC，从而AE＝．∴ ＝＝．

故当 λ＝时，平面BEF⊥平面ACD．-----------------------12分