Question

如图，已知四棱锥P―ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD.

   （Ⅰ）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；

   （Ⅱ）求二面角P―AB―C的大小；

   （Ⅲ）设点M在棱PC上，且，问为何值时，PC⊥平面BMD. 

 

Answer 1

解析：

以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.

（1），

故直线PD与BC所成的角的余弦值为

   （2）设平面PAB的一个法向量为，

由于

由

取的一个法向量

又二面角P―AB―C不锐角.

∴所求二面角P―AB―C的大小为45°

   （3）设三点共线，

                      （1）

                （2）

由（1）（2）知  

   

 故