Question

【题目】已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且

(1)求椭圆的方程；

(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；

(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5

【解析】

（1）由点在椭圆上，且，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程．

(2) 设直线l的方程为，设，，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用数量积和韦达定理求出k的值，即得直线方程；

（3）设直线，联立，求出，同理求出，证明为定值．

(1）椭圆的左右焦点分别为，，

点在椭圆上，且，

，解得，，

椭圆的方程为．

（2）设直线l的方程为，

设，，，，

由，得，

所以，

又，，，

所以，

所以，

所以，均满足题意.

所以直线的方程为或.

（3）设直线，

联立方程组，得，

，

又直线，

同理，得，

，为定值．