Question

(2007湖北，18)如下图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，．

(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵AC=BC=a， ∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC， ∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD， 又AB平面VAB． ∴平面VAB⊥平面VCD． (2)过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由(1)知CH⊥平面VAB． 连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角． 在Rt△CHD中， ； 设．在Rt△BHC中，CH=asin， ．∵ ∴0＜sinθ＜1，． 又．∴． 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 ． 解法二：(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)， 于是 ， ． ． 即AB⊥CD． 同理 ， 即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD． (2)设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=(x，y，z)，则由，． 得 可取， 又 ， 于是 ， ∵ ，∴0＜sinθ＜1， ∴．又， ∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 ．