Question

8．已知椭圆E的焦点在坐标轴上，对称中心为原点，直线l：x-2y+2=0过椭圆E的一个焦点F₁和一个顶点B，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$或$\frac{2}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由直线l：x-2y+2=0，分别令y=0与x=0，可得椭圆E的一个焦点F₁（-2，0），一个顶点B（0，1），即可得出离心率，同理设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），即可得出．

解答 解：①设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由直线l：x-2y+2=0，分别令y=0与x=0，可得椭圆E的一个焦点F₁（-2，0），一个顶点B（0，1），
∴c=2，b=1，∴a²=b²+c²=5．
∴椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
②设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），可得椭圆E的一个焦点F₁（0，1），一个顶点B（-2，0），
∴c=1，b=2，∴a²=b²+c²=5．
∴椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与坐标轴相交、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．