Question

已知实数x，y满足

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≤0

，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则

c

b

的值及a的正负分别为（　　）

• A．4，正
• B．4，负
• C．

  1

  4

  ，正
• D．

  1

  4

  ，负

Answer 1

分析：先确定ax+by+c=0一定和之前两条直线相交构成封闭的三角形，可得a＜0，再利用目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，确定最大值点与最小值点，即可求得结论．

解答：解：z=2x+y转化为y=-2x+z，则y最大，z也最大，y最小，z也最小，如果没有ax+by+c≤0这个条件，则在（4，0）处去最大值8，而没有最小值，
又由x=1与x+y=4，可得交点为（1，3），该点处的函数值为5，不满足题意
所以ax+by+c=0一定和之前两条直线相交构成封闭的三角形，所以a＜0．
因为目标函数z=2x+y的最大值为6，所以函数取得最大值的点为x+y=4与ax+by+c=0的交点，
由

2x+y=6 x+y=4

，可得

x=2 y=2

，所以2a+2b+c=0①；
因为目标函数z=2x+y的最小值为1，所以函数取得最大值的点为x=1与ax+by+c=0的交点，
由

2x+y=1 x=1

，可得

x=1 y=-1

，所以a-b+c=0②，
①-②×2可得：4b-c=0，∴

c

b

=4
综上，

c

b

=4，a＜0
故选B．

点评：本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．