Question

若a、b、c均为实数，且a＝x²－2y＋，b＝y²－2x＋，c＝z²－2x＋，求证：a、b、c中至少有一个大于0．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0， 　　而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2x＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3 　　∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 　　∴a＋b＋c＞0 　　这与a＋b＋c≤0矛盾， 　　因此，a、b、c中至少有一个大于0． 　　思路分析：命题以否定形式出现(如不存在，不相交等)，并伴有“至少……”，“不都……”，“都不……”，“没有……”，“至多……”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法．

提示：

在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．