Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D异于B、C）且AD⊥DE．
（1）求证：面ADE⊥面BCC₁B₁
（2）若△ABC为正三角形，AB=2，AA₁=4，E为CC₁的中点，求二面角E-AD-C的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到CC₁⊥平面ABC，从而AD⊥CC₁，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线，得到AD⊥平面BCC₁B₁，从而平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）证明∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，利用正切函数，可得结论．
解答：（1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁
又∵AD⊥DE，DE、CC₁是平面BCC₁B₁内的相交直线
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：由（1）知，AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥AD，
∴∠EDC是二面角E-AD-C的平面角
∵△ABC为正三角形，AB=2，AA₁=4，E为CC₁的中点，
∴CD=1，CE=2
∴tan∠EDC==2．
点评：本题直三棱柱为载体，考查了直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定，考查面面角，属于中档题．