题目内容

已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为 $数学公式$ ，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有实数解，求实数k的范围．

解：（Ⅰ）依题可设g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2，a=1
∴g（x）=（x-1）²+m+1=x²-2x+m， $\text{[math]}$ ，
设P（x₀，y₀），则|PQ|²=x₀²+（y₀+2）²= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值 $\text{[math]}$
当m＞0时， $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$
当m＜0时， $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
（Ⅱ）m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0化为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，k=t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴ $\text{[math]}$ 记∅（t）=t²-2t+1
∴∅（t）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在t∈[1，2]上单调递增，
∴ $\text{[math]}$
∅（2）=（2-1）²=1F（1）=（1-1）²=0
根据题意方程k=t²-2t+1在 $\text{[math]}$ 内有实数解，∴0≤k≤1
分析：（Ⅰ）根据二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），可知函数在x=1时有最小值，为m-1这样，就可设出函数的顶点式，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，求出a的值，把f（x）化简，用两点间的距离公式求出|PQ|，用含m的式子表示，根据|PQ|的最小值为 $\text{[math]}$ ，求m的值．
（2）先把方程f（2^x）-k•2^x=0化简为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，分离k与x，把 $\text{[math]}$ 看做一个整体， $\text{[math]}$ 就可看作关于 $\text{[math]}$ 的二次函数，判断此函数的单调性，求出值域，m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有实数解，则k的值应该在二次函数的值域中．据此解出k的范围．
点评：本题主要考查了利用函数单调性求值域，以及一元二次方程根的分布的判断．