题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＞0，Sn=| a13+a23+…+an3 |
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）证明：a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
分析：（1）由题意可知a1=S1=
，a1+a2=
，将a1=1代入上式可得a2=2．
（2）由Sn=
，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2解得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．由此能够导出an=n．
（3）由于（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn0-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，所以（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．再由分析法可知原不等式成立．
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（2）由Sn=
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所以an+1-an=1．由此能够导出an=n．
（3）由于（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn0-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，所以（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．再由分析法可知原不等式成立．
解答：（1）解：当n=1时，有a1=S1=
，
由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有S2=
，即a1+a2=
，
将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）解：由Sn=
，
得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）证明1：由于（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn0-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，
所以（1+x）n-（1-x）n=2Cn1x+2Cn3x3+2Cn5x5+．
即（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．
令x=
，则有(1+
)n-(1-
)n-1≥0．
即(1+
)n≥1+(1-
)n，
即（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n
故a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
证明2：要证a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需证（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n，
只需证(1+
)n≥1+(1-
)n，
只需证(1+
)n-(1-
)n≥1．
由于(1+
)n-(1-
)n=[
+
(
)+
(
)2+
(
)3+]-[
-
(
)+
(
)2-
(
)3+]=2[
(
)+
(
)3+
(
)5+]=1+2[
(
)3+
(
)5+]≥1．
因此原不等式成立．
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由于an＞0，所以a1=1．
当n=2时，有S2=
|
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将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．
（2）解：由Sn=
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得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①
则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②
②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，
由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③
同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④
③-④，得an+12-an2=an+1+an．
所以an+1-an=1．
由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
故an=n．
（3）证明1：由于（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+，（1-x）n=Cn0-Cn1x+Cn2x2-Cn3x3+，
所以（1+x）n-（1-x）n=2Cn1x+2Cn3x3+2Cn5x5+．
即（1+x）n-（1-x）n-2nx=2Cn3x3+2Cn5x5+．
令x=
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
即(1+
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
即（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n
故a2n+1n≥a2nn+a2n-1n．
证明2：要证a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需证（2n+1）n≥（2n）n+（2n-1）n，
只需证(1+
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
只需证(1+
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
由于(1+
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
| C | 0 n |
| C | 1 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 2 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 3 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 0 n |
| C | 1 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 2 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 3 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 1 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 3 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 5 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 3 n |
| 1 |
| 2n |
| C | 5 n |
| 1 |
| 2n |
因此原不等式成立．
点评：本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识．
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