Question

设a＞0，0≤x＜2π，若函数y=cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．

Answer 1

【答案】分析：通过同角三角函数的平方关系进行化简，然后进行配方法，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a，b的值，从而得到解析式，最后求出相应最值时的x的值即可．
解答：解：f（x）=y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-+
因为a＞0所以-＜0，
（ⅰ）当，即0＜a≤2时y_max===0①y_min=f（1）=b-a=-4②
由①②解得 或 （舍去）
（ⅱ）当-，即a＞2时y_max=f（-1）=a+b=0③y_min=f（1）=b-a=-4④
由③④解得 （舍去）
综上，
∴f（x）=cos²x-2sinx-2=-（sinx+1）²
当时，y取得最小值；当时，y取得最大值
点评：本题主要考查了三角函数的最值，以及同角三角函数的关系和配方法，同时考查了分类讨论的数学思想．