Question

（2008•湖北模拟）已知数列{a_n}满足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设bn=

1

a2n

，求{b_n}的前项和．

Answer 1

分析：（1）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，知2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1，当n≥2时，an=

3

4

•2n，由此能求出{a_n}的通项．
（2）由bn=

1

a2n

=

1

3 4 •22n

=

4

3

•(

1

2

)2n=

4

3

(

1

4

)n，由此能求出{b_n}的前项和．

解答：解（1）∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=4ⁿ-1n≥2，
2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=4^n-1-1，
∴2ⁿa_n=4ⁿ-4^n-1=3•4^n-1
∴当n≥2时，an=

3

4

•2n，
又n=1时 2a₁=4¹-1得a₁=3/2，
∴an=

3

4

•2n（6分）
（2）∵bn=

1

a2n

=

1

3 4 •22n

=

4

3

•(

1

2

)2n=

4

3

(

1

4

)n（9分）
故{b_n}是以

1

3

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴Sn=

1 3 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

4

9

-

4

9

(

1

4

)n．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．