题目内容
在平面直角坐标系中，已知点
，点
在直线
：
上运动，过点
与
垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
．
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过(1)中的轨迹上的定点
作两条直线分别与轨迹相交于
，
两点．试探究：当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
(1) 
(2) 当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率为定值
【解析】
试题分析：(1)由线段垂直平分线的性质知, 
,所以动点
的轨迹
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线.易知其标准方程为.
设
、
，
,可由点差法求出
,
,
由直线，的倾斜角互补，得
定值
试题解析：(1)依题意，得 1分
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线 3分
∴动点的轨迹的方程为
4分
(2)∵、，在抛物线上
∴ 
5分
由①-②得，
∴直线
的斜率为 7分
同理可得，直线
的斜率为
9分
∴当直线，的倾斜角互补时，有
即
∴ 11分
由②-③得，
∴直线的斜率为 ④ 13分
将代入④，得 
∴当直线，的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为定值 14分
考点：1、抛物线的定义和标准方程；2、点差法的应用.
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