Question

如图，三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC是边长为a的正三角形，∠BAC=30°，AC⊥BC，M是BC的中点．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求证：平面PMA⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由平面PBC⊥平面ABC且PB⊥AC，利用面面垂直的性质定理得到AC⊥平面PBC，即可证出PB⊥AC；
（2）连结PM，可得PM是正△PBC的高，得PM⊥BC，利用面面垂直的性质定理证出PM⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理即可证出平面PMA⊥平面ABC；
（3）算出Rt△ABC的边AC、BC长，得到S_△ABC=

3

2

a2，由（2）得PM是三棱锥P-ABC的高线，利用锥体的体积公式加以计算，即可得到三棱锥P-ABC的体积．

解答：解：（1）∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，∴PB⊥AC；
（2）连结PM，可得
∵M是BC的中点，△PBC是正三角形，∴PM⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，∴PM⊥平面ABC，
∵PM?平面PMA，∴平面PMA⊥平面ABC；
（3）由（2）得PM⊥平面ABC，得PM是三棱锥P-ABC的高线，
∵正△PBC的边长为a，∴PM=

3 a

2

，
∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=a，∴AC=

3

BC=

3

a，
可得△ABC的面积为S_△ABC=

1

2

×AC×BC=

3

2

a2，
因此，三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC×PM=

1

3

×

3

2

a2×

3 a

2

=

1

4

a3．

点评：本题给出三棱锥满足的条件，求证面面垂直并求锥体的体积．着重考查了面面垂直的判定与性质、锥体的体积公式等知识，属于中档题．