Question

已知圆O：x²+y²=1和抛物线y=x²-2上三个不同的点A、B、C．如果直线AB和AC都与圆O相切．求证：直线BC也与圆O相切．

Answer 1

分析：求出AB、BC、AC的方程，根据切线的性质可得（a²-1）b²+2ab+3-a²=0，（a²-1）c²+2ac+3-a²=0，由b、c为方程
（a²-1）x²+2ax+3-a²=0的两根，求得b+c 和bc 的值，进而求得圆心到直线BC的距离等于半径，故BC也与圆O相切．

解答：证明：设A（a，a²-2），B（b，b²-2），C（c，c²-2），则 AB的方程为   （a+b）x-y-ab-2=0，
BC的方程为    （b+c）x-y-bc-2=0，AC的方程为    （a+c）x-y-ac-2=0，
∵AB为圆的切线，有

|ab+2|

(a+b)2+1

=1，即（a²-1）b²+2ab+3-a²=0，同理（a²-1）c²+2ac+3-a²=0，
∵b、c为方程（a²-1）x²+2ax+3-a²=0的两根，则b+c=

2a

1-a2

  ，bc=

3-a2

a2-1

．
于是圆心到直线BC的距离d=

|bc+2|

(b+c)2+1

=

| 3-a2 a2-1 +2|

4a2 (1-a2)2 +1

=1，故BC也与圆O相切．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求出圆心到直线BC的距离是解题的关键．