Question

设函数f（x）=ax-1nx，
（1）若a=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=2x-1nx，
∴f′（x）=2-=（x＞0），
当0＜x＜，f′（x）＜0，f（x）=2x-1nx在（0，）上单调递减；
当x＞，f′（x）＞0，f（x）=2x-1nx在（，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；
（2）依题意，∵x＞0，
f（x）=ax-1nx＞0恒成立
?ax＞lnx恒成立
?a＞恒成立
?a＞．
令g（x）=，则g′（x）=，
当0＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增；
当x＞e，g′（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减；
∴g（x）_max=g（e）=．
∴a＞．
分析：（1）当a=2，f（x）=2x-1nx，可求得f′（x），利用导数即可判断函数f（x）的单调区间；
（2）将f（x）=ax-1nx＞0恒成立转化为a＞恒成立，构造函数g（x）=，利用导数可求得g（x）_max，从而求得a的范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，突出构造函数的应用，考查转化思想与分类讨论思想的运用，属于难题．