Question

如图，四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，侧棱与底面垂直，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=AD=1，BC=

2

，AA′=

6

2

．
（I）求证：DB⊥BC′；
（II）求二面角A′-BD-C的大小．

Answer 1

证明：（I）作BM⊥CD，垂足为M，连接AM．
因为AB∥CD，AD⊥DC，BM⊥CD，且AB=AD=1，
∴四边形ABMD是正方形
∴BM=DM=1，BD=

2

又∵BC=

2

，
∴CM=

BC2-BM2

=1
∴CD=2，即CD²=BD²+BC²
∴DB⊥BC，
又∵DB⊥B′B，B′B∩BC=B
∴DB⊥平面BC′
而BC′?平面BC′
∴DB⊥BC′
（II）设AM与BD交于点E，连接A′E
由（I）知，ME⊥BD，且DE=BE
∵A′A⊥平面ABCD，
∴A′A⊥AD，A′A⊥AB
又∵AB=AD=1，∴A′D=A′B
又∵DE=BE，
∴A′E⊥BD
综上可知∠A′EM即为二面角A′-BD-C的平面角，
在△A′AE中，∵A′A=

6

2

，AE=

1

2

BD=

2

2

∴tan∠A′EA=

AA′

AE

=

3

即∠A′EA=60°
∴∠A′EM=120°
∴二面角A′-BD-C的大小为120°