Question

下列函数中既是奇函数又是（1，+∞）上的增函数的是（　　）

A、f（x）=2^x+2^-x

B、f（x）=2^-x-2^x

C、f（x）=x+lnx

D、f（x）=xln|x|

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性，注意函数定义域必须关于原点对称．然后利用函数增减性的定义判断函数在（1，+∞）上的增减性．
根据指数函数的性质判断单调性．

解答：解：A选项中，f（x）=2^x+2^-x，定义域为R，
∵f（-x）=2^-x+2^-（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）在R上为偶函数．故A不正确．
B选项中，f（x）=2^-x-2^x，定义域为R，
f（-x）=2^-（-x）-2^-x=2^x-2^-x=-f（x），
∴f（x）在R上为奇函数．
∵x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，故B不正确．
C选项中，f（x）=x+lnx的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，函数不具有奇偶性，故C不正确．
D选项中，f（x）=xln|x|定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
f（-x）=-xln|-x|=-xln|x|=-f（x），函数为奇函数．
又对任意x₁，x₂∈（1，+∞），当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x） 在（1，+∞）单调递增．故D正确．
故选D．

点评：本题考查函数奇偶性以及单调性的判断．熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键