Question

如图，在正方体AC₁中，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

• A．点H是△A₁BD的垂心
• B．AH的延长线经过点C₁
• C．AH垂直平面CB₁D₁
• D．直线AH和BB₁夹角的正弦值为

  2

  2

Answer 1

分析：对于A，由于三棱锥A-A₁BD为底面A₁BD为正三角形的正棱锥，故H是△A₁BD的垂心；
对于B，由正方体的性质可知，AC₁⊥平面A₁BD；
对于C，由于平面CB₁D₁∥平面A₁BD，由AH⊥平面A₁BD，可知C正确；
对于D，直线AH和BB₁夹角就是直线AH和AA₁夹角，计算即可判断其正误．

解答：解：依题意知，三棱锥A-A₁BD为底面A₁BD为正三角形的正棱锥，
∴H是△A₁BD的中心，也是△A₁BD的垂心，故A正确；
对于B，由于三棱锥C₁-A₁BD为底面A₁BD为正三角形的正棱锥，
∴C₁H⊥平面A₁BD；
∴AH∥C₁H，
又AH∩C₁H=H，
∴A、H、C₁三点共线，故B正确；
对于C，∵CD₁∥BA₁，B₁D₁∥BD，B₁D₁∩CD₁=D₁，BA₁∩BD=B，
∴平面CB₁D₁∥平面A₁BD，
又AH⊥平面A₁BD，
∴AH⊥平面CB₁D₁，故C正确；
对于D，∵BB₁∥AA₁，
∴直线AH和BB₁夹角就是直线AH和AA₁夹角，设为θ，
设正方体的边长为a，在RT△AHA₁中，AA₁=a，A₁H=

2

a×

3

2

×

2

3

=

6

3

a，
∴sinθ=

A1H

AA1

=

6

3

≠

2

2

，故D错误；
故选D．

点评：本题考查空间几何体线面垂直、面面平行、线面角，考查分析推理与运算能力，属于中档题．