Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（cos

x

2

，sin

x

2

） （x∈R），向量

b

=（cos?，sin?）（|?|＜

π

2

），f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称．
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin

x

2

的图象按向量

c

=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函数y=f（x）的图象，求向量

c

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，求出函数的关系式，利用对称轴直接求出?的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin

x

2

的图象按向量

c

=（m，n） （|m|＜π）平移，求出函数的解析式，利用与函数y=f（x）的图象相同，求向量

c

．另解：通过函数y=f（x）逆向推出函数，使得与函数y=1+sin

x

2

的图象相同，求出向量

c

．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=cos

x

2

cos?+sin

x

2

sin?=cos（

x

2

-?），
∵f（x）的图象关于直线x=

π

6

对称，
∴f(

π

6

)=cos(

π

12

-φ)=cos(φ-

π

12

)=±1，
∴φ-

π

12

=kπ，k∈Z，又|?|＜

π

2

，∴?=

π

12

．
（Ⅱ）f（x）=cos（

x

2

-

π

12

）=sin（

x

2

+

5π

12

）=sin

1

2

（x+

5π

6

），
由y=1+sin

x

2

平移到y=sin

1

2

（x+

5π

6

），只需向左平移

5π

6

单位，
再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为π，且

c

=（m，n） （|m|＜π），
∴m=-

5π

6

，n=-1，即

c

=（-

5π

6

，-1）．
另解：f（x）=cos（

x

2

-

π

12

）=sin（

x

2

+

5π

12

）=sin

1

2

（x+

5π

6

），
由y-1=sin

x

2

平移到y′=sin

1

2

(x′+

5π

6

)，只要

x′+ 5π 6 =x y′=y-1

即

x′-x=- 5π 6 y′-y=-1

，
∴

c

=（-

5π

6

，-1）．

点评：本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题，既考查了三角函数的变形以及三角函数的图象与性质，又考查了运用平面向量进行图象平移的知识．