Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率是

3

2

，且经过点M（2，1）．直线y=

1

2

x+m (m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别是k₁，k₂，求证k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率是

3

2

，且经过点M（2，1），可求几何量，从而可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程y=

1

2

x+m (m＜0)代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率是

3

2

，且经过点M（2，1），
∴

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1  a2=b2+c2

，

a2=8 b2=2

，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）证明：直线方程y=

1

2

x+m (m＜0)代入椭圆方程，化简可得x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
即k₁+k₂为定值．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．