Question

某公司在开发的初级阶段大量生产一种产品．这种产品是否合格要进行A、B两项技术指标检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

．按质量检验规定：两项技术指标都达标的产品为合格品．
（1）任意依次抽出5个产品进行检测，求其中至多3个产品是合格品的概率是多少；
（2）任意依次抽取该种产品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

Answer 1

分析：（1）设出两项指标达标的概率，根据有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

，至少一项技术指标达标的概率为

11

12

，得到关于两个概率的关系式，解方程即可．再求出概率．
（2）由题意知每一次抽取一个产品相当于一次独立重复试验，变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到结果．

解答：解：（1）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂
由题意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)•= 11 12

解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即，一个产品经过检测为合格品的概率为

1

2

任意抽出5个产品进行检查，其中至多3个产品是合格品的概率为1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

（2）依题意知ξ～B（4，

1

2

），Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布，这样题目的计算过程就省去了，只要根据公式写出结果就可以．