Question

【题目】已知函数．

（1）若函数只有一个零点，求；

（2）在（1）的条件下，当时，有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求得导数，把函数只有一个零点，转化为存在唯一零点，只需，设，利用导数求得函数单调性，结合，求得，代入即可求解；

（2）转化为成立，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．

（1）由题意，函数，则，

当时，，当时，，

所以存在满足，即，即，

令，可得；令，则，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以存在唯一零点，只需，

由，

设，则，

所以函数在上单调递减，且，即，

将代入，即．

（2）由成立，即，

即成立，

令，则，

只需．

令，即，解得或；

令，即，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又由，可得，

所以，所以．